matematika dan musik

MATEMATIKA DAN MUSIK

Disusun untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan

Oleh:

Tia Nur Septiani          142151054

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SILIWANGI

TASIKMALAYA

2015

MATEMATIKA DAN MUSIK

Gambar 1. Matematika dan Musik

            Cabang matematika yang disebut kombinatorika memungkinkan seseorang untuk menghitung cara-cara yang sesuai untuk mengkombinasikan pola-pola nada, misalnya angka – angka. Hal ini memberikan taksonomi dan klasifikasi dari beberapa kombinasi yang muncul. Matematika menjabarkan bagaimana kombinasi-kombinasi itu berhubungan dengan nada dan bagaimana nada-nada tersebut dapat diubah dari bentuk satu ke bentuk lainnya. Kurt lewin menyatakan bahwa matematika memberikan kerangka yang cocok pada ahli-ahli teori musik untuk memberitahukan cara yang paling baik untuk mendengarkan sebuah karya musik. Matematika juga merupakan salah satu ilmu yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari. Problematika yang sering terjadi yaitu peluang dalam perjudian, bilangan pada tangga nada dan lain-lain.

Gambar 2. Kurt Lewin

Penentuan-penentuan nada-nada musik dengan menggunakan teknis matematis sangat menarik untuk dibicarakan. Teori matematika yang digunakan disini berkaitan dengan teori bilangan dengan bahasan aritmatika modulo dan kongruensi menjadi kunci dari penyelesaian matematisnya.

Musik sangat erat kaitannya dengan pendengaran dan perasaan. Untuk memahami musik, seseorang harus terlatih pendengarannya dan perasaannya dalam memainkan nada-nada yang ada di partitur musik. Jika pendengarannya tidak terlatih untuk mendengar suara suatu nada, pemain musik tersebut sulit untuk menentukan nada-nada yang sedang didengarnya. Begitu pula dengan perasaan pemain musik. Jika perasaannya belum menyatu dengan nada-nada yang ada di partitur, kemungkinan besar, pemain itu akan memainkan nada dengan tempo yang tidak sesuai.

Gambar 3. Pythagorean-tuning

Teori musik terkadang menggunakan matematika untuk memahami musik, meskipun musik tidak memiliki dasar aksiomatik dalam matematika modern. Kaitan matematika dengan musik sebenarnya ada sejak zaman Pythagoras. Doktrin utama mereka adalah bahwa “seluruh alam terdiri dari harmoni yang timbul dari bilangan”. Namun saat ini, matematika dan musik tampaknya sudah menjadi pengetahuan yang independen, padahal ada hubungan erat diantara keduanya. Musik untuk matematika, dan matematika untuk musik. Musik untuk matematika maksudnya musik membangun keterampilan matematika. Musik dapat mengundang matematikawan untuk membuat formula-formula baru sehingga memberikan kreasi musik yang lebih ekspresif dan menarik. Matematika untuk musik maksudnya kreativitas dalam bermusik menjadi takterbatas, karena adanya penemuan formula-formula baru yang bisa direalisasikan ke dalam pembuatan musik.

Dalam seni musik, transposisi mengacu kepada perubahan tangga nada/akord menjadi lebih rendah maupun lebih tinggi. Ada dikenal istilah tangga nada, ini berisikan kumpulan nada-nada yang harmonis. Kumpulan dari semua tangga nada dalam musik disebut tangga nada kromatik . Ada banyak jenis tangga nada yang dapat disusun dari nada-nada yang ada pada tangga nada kromatik. Tangga nada yang umum digunakan untuk memainkan suatu musik adalah tangga nada mayor.

Notasi (not) yang merupakan tanda untuk menulis nada. Pada dasarnya dalam musik internasional terdapat 7 perbedaan pitch class (kelas nada) yaitu ( C, D, E, F, G, A, B ) yang biasanya disebut 1 oktaf dengan interval yang telah ditentukan yaitu 1 1 ½ 1 1 1 ½. Hal ini akan lebih mudah jika diamati menggunakan garis bilangan.

Gambar 4. Nada Dasar Mayor

Nada-nada pokok tersebut tidak dimainkan secara langsung namun bisa dinaikkan maupun diturunkan setengah laras. Nama nada yang dinaikkan setengah laras mirip dengan nama nada aslinya ditambah akhiran is disimbolkan dengan (#), tanda # disebut tanda kruis, sharp, palang. Nama nada yang diturunkan setengah laras juga mirip dengan nada aslinya ditambah akhiran es disimbolkan dengan (b), tanda b disebut tanda mol atau flat.

Akibat dari nada-nada yang dinaikkan atau diturunkan setengah laras adalah jumlah nada dalam musik adalah 12 dengan jarak interval yang sama yaitu ½ , adapun nada-nadanya adalah sebagai berikut (C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B,) atau (C, Db, D, Eb, E, F, Gb, G, Ab, A, B, Bb).

Gambar 5. Nada Bekruis

Gambar 6. Nada Bermol

Pada pembahasan ini akan membahas nada berkruis atau nada bermol yang jumlahnya adalah 12 nada. Dalam matematika ke 12 nada tersebut disebut sebagai anggota himpunan nada berkruis. Pada bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa suatu himpunan dapat dinyatakan dalam dua bentuk penulisan. Bentuk pertama adalah tabular (tabular form) yaitu penulisan himpunan dengan mendaftar semua anggotanya di dalam tanda kurung kurawal {}. Misalnya, X={ C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B,} yang menyatakan bahwa himpunan C memuat unsur C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B. Bentuk yang kedua adalah pencirian (set-builder form) yaitu penulisan himpunan dengan menyebutkan sifat atau syarat keanggotaan himpunan tersebut. Misalnya, C = {x | x nada berkruis}.

Untuk menghubungkan keduabelas nada-nada tersebut ke dalam matematika maka harus mengubahnya terlebih dahulu ke dalam bentuk bilangan yang disebut integer model of pitch (bilangan bulat pada nada), sebagai berikut :

C = 0

C# = Db = 1

D = 2

D# = Eb = 3

E = 4

F = 5

F# = Gb = 6

G = 7

G# = Ab = 8

A = 9

A# = Bb = 10

B = 11

Transposisi dalam musik berfungsi untuk menentukan tinggi rendahnya nada dalam suatu rangkaian alunan musik sedangkan dalam matematika transposisi didefinisikan sebagai berikut:

Definisi: Misalkan n adalah bilangan integer mod 12, maka fungsi T_n : Z₁₂ ®  Z₁₂ didefinisikan dengan rumus T_n (x) º x + n (mod12).

Keterangan :    n = transposisi ke….untuk n = 0,1,2,…11

x = himpunan trinada

dari definisi di atas dijelaskan bahwa fungsi transposisi akord merupakan fungsi T_n yang memetakan Z₁₂ ke Z₁₂. Adapun penjabaran dari rumus fungsi transposisi akord dengan n = 0,1, 2, ...., 11 adalah sebagai berikut:

            T₀ º x + 0 (mod12)

            T₁ º x + 1 (mod12)

            T₂ º x + 2 (mod12)

            T₃ º x + 3 (mod12)

            T₄ º x + 4 (mod12)

            T₅ º x + 5 (mod12)

            T₆ º x + 6 (mod12)

            T₇ º x + 7 (mod12)

            T₈ º x + 8 (mod12)

            T₉ º x + 9 (mod12)

            T₁₀ º x + 10 (mod12)

            T₁₁ º x + 11 (mod12)

Rumus transposisi di atas menggunakan mod 12 karena dalam musik terdapat 12

perbedaan nada.

Akord adalah kumpulan tiga nada atau lebih yang bila dimainkan secara bersamaan terdengar harmonis. Akord digunakan untuk mengiringi suatu lagu, sedangkan akord yang sering digunakan adalah akord mayor dan akord minor. Tipe akord yang paling dasar dan yang paling sederhana adalah tipe triad mayor atau akord trinada, yaitu penyusunan akord mayor dengan tiga nada penyusun. Triad mayor terdiri dari nada pada urutan ke 1, 3, dan 5 atau dengan interval 2 1/2 - 1. Misalnya jika ingin menyusun Akord dengan nada dasar C mayor maka nada yang dimainkan adalah nada pada urutan ke 1, 3, dan 5 sebagai berikut C D E F G A B C, sehingga akord C mayor adalah C E G yang mana jika dirubah dalam integer model of pitch

menjadi (0 4 7). Hal ini juga serupa pada akord dengan nada dasar F mayor. Nada dasar F mayor adalah F G A A# C D E F, jadi nada yang dimainkan adalah nada F A C yang mana jika dirubah dalam integer model of pitch menjadi (5 9 0), dan hal ini juga berlaku untuk nada-nada yang lain. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat susunan tangga nada mayor pada Gambar 7.

Gambar 7. Tangga Nada Mayor

            Dari Gambar 7 dapat dibuat akord triad mayor yaitu dengan cara memilih

urutan ke 1, 3 dan ke 5, kemudian akord tersebut dirubah dalam bentuk integer

model of pitch. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 8.

Gambar 8. Akord Triad Mayor

            Selain dengan cara melihat Gambar 8 yakni memilih nada urutan ke 1, 3

dan 5, himpunan triad mayor dapat ditentukan dengan cara menggunakan rumus

fungsi transposisi dengan nada awal C mayor atau (0 4 7) adalah sebagai berikut :

·         Untuk n = 0

T_n (x)  º x + 0 (mod12)           T_n (x)  º x + 0 (mod12)           T_n (x)  º x + 0 (mod12)

T₀ (0)  º 0 + 0 (mod12)           T₀ (4)  º 4 + 0 (mod12)           T₀ (7)  º 7 + 0 (mod12)

T₀ (0)  º 0 (mod12)                  T₀ (4)  º 4 (mod12)                  T₀ (7)  º 7 (mod12)

Jadi untuk n = 0, C ( 0 4 7 ) menjadi C ( 0 4 7 )

·         Untuk n = 1    

T₁ (0)  º 0 + 1 (mod12)           T₁ (4)  º 4 + 1 (mod12)           T₁ (7)  º 7 + 1 (mod12)

T₁ (0)  º 1 (mod12)                  T₁ (4)  º 5 (mod12)                  T₁ (7)  º 8 (mod12)

Jadi untuk n = 1, C ( 0 4 7 ) menjadi C^# ( 1 5 8 )

·         Untuk n = 2

T₂ (0)  º 0 + 2 (mod12)           T₂ (4)  º 4 + 2 (mod12)           T₂ (7)  º 7 + 2 (mod12)

T₂ (0)  º 2 (mod12)                  T₂ (4)  º 6 (mod12)                  T₂ (7)  º 9 (mod12)

Jadi untuk n = 2, C ( 0 4 7 ) menjadi D ( 2 6 9 )

·         Untuk n = 3

T₃ (0)  º 0 + 3 (mod12)           T₃ (4)  º 4 + 3 (mod12)           T₃ (7)  º 7 + 3 (mod12)

T₃ (0)  º 3 (mod12)                  T₃ (4)  º 7 (mod12)                  T₃ (7)  º 10 (mod12)

Jadi untuk n = 3, C ( 0 4 7 ) menjadi D^# ( 3 7 10 )

·         Untuk n = 4

T₄ (0)  º 0 + 4 (mod12)           T₄ (4)  º 4 + 4 (mod12)           T₄ (7)  º 7 + 4 (mod12)

T₄ (0)  º 4 (mod12)                  T₄ (4)  º 8 (mod12)                  T₄ (7)  º 11 (mod12)

Jadi untuk n = 4, C ( 0 4 7 ) menjadi E ( 4 8 11 )

·         Untuk n = 5

T₅ (0)  º 0 + 5 (mod12)           T₅ (4)  º 4 + 5 (mod12)           T₅ (7)  º 7 + 5 (mod12)

T₅ (0)  º 5 (mod12)                  T₅ (4)  º 9 (mod12)                  T₅ (7)  º 0 (mod12)

Jadi untuk n = 5, C ( 0 4 7 ) menjadi F ( 5 9 0 )

·         Untuk n = 6

T₆ (0)  º 0 + 6 (mod12)           T₆ (4)  º 4 + 6 (mod12)           T₆ (7)  º 7 + 6 (mod12)

T₆ (0)  º 6 (mod12)                  T₆ (4)  º 10 (mod12)                T₆ (7)  º 1 (mod12)

Jadi untuk n = 6, C ( 0 4 7 ) menjadi F^# ( 6 10 1 )

·         Untuk n = 7

T₇ (0)  º 0 + 7 (mod12)           T₇ (4)  º 4 + 7 (mod12)           T₇ (7)  º 7 + 7 (mod12)

T₇ (0)  º 7 (mod12)                  T₇ (4)  º 11 (mod12)                T₇ (7)  º 2 (mod12)

Jadi untuk n = 7, C ( 0 4 7 ) menjadi G ( 7 11 2 )

·         Untuk n = 8

T₈ (0)  º 0 + 8 (mod12)           T₈ (4)  º 4 + 8 (mod12)           T₈ (7)  º 7 + 8 (mod12)

T₈ (0)  º 8 (mod12)                  T₈ (4)  º 0 (mod12)                  T₈ (7)  º 3 (mod12)

Jadi untuk n = 8, C ( 0 4 7 ) menjadi G^# ( 8 0 3 )

·         Untuk n = 9

T₉ (0)  º 0 + 9 (mod12)           T₉ (4)  º 4 + 9 (mod12)           T₉ (7)  º 7 + 9 (mod12)

T₉ (0)  º 9 (mod12)                  T₉ (4)  º 1 (mod12)                  T₉ (7)  º 4 (mod12)

Jadi untuk n = 9, C ( 0 4 7 ) menjadi A ( 9 1 4 )

·         Untuk n = 10

T₁₀ (0)  º 0 + 10 (mod12)        T₁₀ (4)  º 4 + 10 (mod12)        T₁₀ (7)  º 7 + 10 (mod12)

T₁₀ (0)  º 10 (mod12)              T₁₀ (4)  º 2 (mod12)                T₁₀ (7)  º 5 (mod12)

Jadi untuk n = 10, C ( 0 4 7 ) menjadi A^# ( 10 2 5 )

·         Untuk n = 11

T₁₁ (0)  º 0 + 11 (mod12)        T₁₁ (4)  º 4 + 11 (mod12)        T₁₁ (7)  º 7 + 11 (mod12)

T₁₁ (0)  º 11 (mod12)              T₁₁ (4)  º 3 (mod12)                T₁₁ (7)  º 6 (mod12)

Jadi untuk n = 11, C ( 0 4 7 ) menjadi B ( 11 3 6 )

            Maka dapat disimpulkan bahwa rumus fungsi transposisi akord dapat diterapkan pada perpindahan semua nada dasar pada sebuah lagu.

Paul Erdos, matematikawan besar dunia, menyebut musik sebagai derau. Universalis besar ini tahu kalau bagi matematika, segala yang bersuara adalah musik. Sebuah keindahan auditori pada nada-nada. Musik karya Mozart misalnya, sempat dikritik karena mengandung terlalu banyak nada. Tidak heran kalau ia menyumbangkan sebagian uangnya untuk perkembangan musik klasik.

Gambar 9. Paul Edros

Matematikawan besar Georg Cantor merupakan pecinta musik. Ia bahkan memiliki kerabat yang merupakan komposer besar. Darah musik mengalir pada dirinya, tapi ia menjadi matematikawan. Ia mengalunkan nada-nada menjadi angka dan membuat pencapaian besar dalam matematika lewat konsep ketakhinggaan (infinity). Matematika bukan hanya kebenaran, namun juga keindahan.

Gambar 10. Georg Cantor

Matematika memiliki beberapa persamaan dengan musik. Sedikit orang yang berbakat untuk mengarang musik, tapi banyak yang dapat memahami, menyanyikan atau semata menikmatinya. Begitu juga matematika. Sedikit saja orang yang berbakat untuk menemukan fakta matematika baru, tapi banyak yang dapat memahami, menggunakan atau semata menikmati keindahannya. Masalahnya, bagaimana seorang guru matematika dapat mengajarkan matematika seperti seorang bintang rock di atas panggung.

Persamaan lain ada pada pemahamannya. Untuk memahami musik, orang harus menikmati seluruh lagu. Dari awal hingga akhir, dan menangkap maknanya. Iramanya dan strukturnya. Begitu juga memahami matematika. Untuk memahaminya, seseorang harus mempelajari teori komprehensifnya, pembelajaran yang panjang dan penerapannya di dunia nyata.

Dalam musik, bukan hanya garis melodi yang dibuka membuatnya bertambah indah. Namun juga variasi tema, modulasi mengesankan dalam lonjakan atau turunnya irama dapat menjadi klimaks dari emosi. Dalam matematika, hal yang sama berlaku. Tipe fenomena, metode pengajuan masalah yang bervariasi dan metode pemecahan masalah yang mengesankan dapat menjadi klimaks dari kegembiraan seseorang yang memecahkan soal matematika atau menemukan teorema baru.

Banyak dari Anda mungkin tidak menyadari bahwa ternyata banyak sekali lagu yang berhubungan dengan matematika, dan ini adalah beberapa contoh lagu yang mengusung tentang matematika:

1.      Tom Lehrer, yang berjudul “That’s Mathematics!”,

2.      Jack Black, yang berjudul  “Math Is A Wonderful Thing”,

3.      Math Rock, yang berjudul “The Fraction”,

4.      Ken Ferrier and Antoni Chan, yang berjudul “Mathematical Pi”,

5.      Jazzmine Farol, yang berjudul “The Math Song”,

6.      Mos Def, yang berjudul “Mathematics”.

Mereka bukanlah seorang matematikawan melainkan hanya seorang musisi yang menciptakan karya seni melalui musik dengan lirik yang berhubungan dengan matematika. Mereka membuktikan bahwa untuk membuat sebuah lagu itu bisa dengan menggunakan ilmu pengetahuan juga. Kebanyakan memang mereka mengungkapkan bagaimana sulitnya ketika belajar matematika, namun mereka mencoba membuatnya menjadi lebih menarik yaitu mengajak belajar matematika dengan melalui sebuah lagu. Ini membuktikan bahwa matematika bisa membuat kita menjadi lebih kreatif seperti halnya dalam sebuah karya seni musik.

Bagaimana rasanya jika saat dewasa Anda tidak lagi mendengarkan musik? Dan inilah matematika yang kita bicarakan, banyak orang melupakan matematika. Padahal seperti apa yang dikatakan Galileo, Dunia ditulis dengan matematika. Inilah matematika, yang mencapai jauh ke dalam intuisi kita dan keluar melintasi alam semesta. Matematika menjelaskan atom dan bintang, membantu kita memahami bagaimana sungai dan pembuluh darah bercabang. Matematika adalah studi bagaimana hubungan yang ideal di buat dan faktanya ada jauh di sana, di sekitar dan di dalam diri kita. Ia bukan hanya membantu kita melihat keseimbangan pendapatan dan pengeluaran; ia membantu kita melihat keseimbangan dalam tak terhitung peristiwa dan bentuk dari simetri yang tersembunyi di balik keacakan. Di saat yang sama, kita dapat melihat bagaimana ia independen, seperti halnya musik. Baik murni maupun terapan, matematika tidak mengikut pada persuasi ataupun keimanan, namun pada dirinya sendiri. Matematika adalah kebebasan, kita memainkannya seperti memainkan musik.

Gambar 11. Galileo Galilei

DAFTAR PUSTAKA

Peter D. Schumer, 2004. Mathematical Journeys, John Wiley & Sons, Inc

Mark Zegarelli, 2007. Basic Math and Pre Algebra for Dummies. John Wiley & Sons, Inc

Hans Rademacher, 1957. The Enjoyment of Mathematics. Princeton University Press

William Dunham, 1990. Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc.

Robert Kaplan dan Ellen Kaplan, 2007. Out of the Labyrinth : Setting Mathematics Free. Oxford University Press

Van Nostrand’s Scientific Encyclopedia. 10th Edition. Vol. 3. Glenn D. Considine dan Peter H. Kulik (editors).

StanleySadie, (ed.), The New Grove Dictionary Music and Musicians, (London, Macmillan Publisher, 1980), p. 485

http://www.lib.uin-malang.ac.id/files/thesis/fullchapter/04510029.pdf

https://matematiku.wordpress.com/2011/02/23/mathematics-songs/

Holland, Roy. 1983. Kamus Matematika. Jakarta: Erlangga

Isfanhari, Musafir. 2000. Pengetahuan Dasar Musik. Surabaya: Dinas P dan K

propinsi Jawa Timur

Muhsetyo, Gatot. 19997. Dasar-Dasar Teori Bilangan. FIP MIPA IKIP Malang

Sudirma. 2001. Teori Bilangan. F MIPA Universitas negeri Malang

Sukirman. 2005. Pengantar Aljabar Abstrak. Malang: UM Press